不需證明的常識性認知為公理，經過受邏輯限制的證明為真的陳述為定理。

歐幾里得用十條公理推導出465條定理，用465條定理構造了整個經典幾何世界。

各國中學生所學習的幾何母版，其實就是歐幾里得著於兩千多年前的《幾何原本》。

《幾何原本》在世界範圍內的出版發行數量僅次於《聖經》，我們依舊在學習兩千多年前的幾何教材，或許還將繼續學習兩千年。這就是“經典教材”的定義。

歐幾里得先設定公理再證明定理，從而推導出整個經典幾何世界的嚴謹思維令人驚嘆。即便在今天，這種邏輯推理思維與整體構築能力也堪稱變態。

唯一的疑點是，“歐幾里得第五公設”的常識性認知值得商榷。

歐幾里得最早設定的10個常識性認知，其實是5個公理+5個公設。

近代數學將公設與公理合併，對於常識性的認知統稱為公理。

“歐幾里得第五公設”所描述的常識性認知，可等價表示為：過已知直線外一點，能且僅能作一條直線與已知直線平行。

“第五公設不難理解，並成為社會上大多數人的常識。”沈奇在黑板上隨手畫了一條長達一米八的直線，非常的直，像是拿尺子比出來的。

“我問山姆，嘿山姆，過已知直線外一點能作幾條直線與已知直線平行？”

“山姆告訴我，只能作一條平行線。山姆說這是他中學數學老師教他的，他認為這是常識性的問題，就如信用卡必須按時還款，否則將被起訴。”

“我問麗薩，她給我相同的答案。”

“對了，山姆是老虎旅館的經理，人很不錯。而麗薩是經濟學三年級的學生，超級火辣，人很可愛，她常去老虎旅館玩。”說到這裡，沈奇在黑板上畫了個點。

“哇喔，奇，你已經和麗薩約會了？”十二位數學系男生中的一半是宅男，並沒有女朋友，他們感到羨慕。

“這不是重點。”沈奇心疼的看著這些宅男單身狗，承諾道：“幾個月之後你們進入普林斯頓滿兩年，我會介紹你們加入老虎旅館，普林斯頓最漂亮、最勁爆的姑娘們都在那裡愉快玩耍。”

“Great-Key！”

“偉大奇！”

宅男們雞凍了，沈奇在他們心中的形象愈發光輝偉岸，老頭子教授們可不會帶他們去俱樂部認識漂亮姑娘。

“言歸正傳，重點是經濟學專業的麗薩也學習基礎數學理論，但她並不認為過直線外一點，能作出兩條以上的平行線。”沈奇敲了敲黑上的那個小點，說到：“麗薩無法做到的事情，我們可以替她完成。歐幾里得第五公設在大多數情況下是常識，但當光線透過大質量星球時，我們必須使用非歐幾何，因為光線會彎曲。”

沈奇在黑板上徒手畫了一個圓，特別的圓，圓成這樣了○

圓內兩點A、B由一條曲線連線，這條曲線在非歐幾何中代表直線。

“從宇宙的角度審視地球，過AB外一點，我們可以作出無數條平行線。”

沈奇給學生們溫習羅氏點和羅氏直線的知識點，加深學生們的印象。

穆勒教授在大課堂上講的很快，兩節大課之後已講到了黎曼幾何。

導修班是有必要的，這些二年級學生尚在學術成長期，他們需要一對一的單獨輔導，否則有可能抓狂。

偉大的歐幾里得留下了一條破綻，第五公設的普適性值得商榷，而這正是非歐幾何的開端。

非歐幾何分為兩個主要流派，羅巴切夫斯基幾何與黎曼幾何。

羅氏幾何即雙曲幾何，更多是從幾何角度出發。黎曼幾何即橢圓幾何，因為流形的引入，黎曼幾何與微分、拓撲、群論相交叉，研究起來的難度更大。

沈奇在羅氏幾何中，透過作圖演繹出了過直線外一點的無窮多條平行線，傳統意義上的平行概念消失，彎曲空間中的平行遵守羅氏平行公理。

在這個特殊的空間中，三角形的內角和不再是180度，而是小於180度。

三角形的樣子也不再是剛正不阿的傳統三角形，沈奇用“魔鬼喇叭花”圖案，生動演繹了羅氏三角形內角和小於180度的原理。

盧卡是個很有天賦的學生，他舉一反三的作出了一組“大魔鬼三角形”，詮釋了羅氏幾何中不存在任何一對不全等的相似三角形。

意大利人似乎對於作圖、繪畫、建築有著天生的靈感和直覺，沈奇欣賞盧卡這個義大利學生，盧卡天賦佳、形象有特點，並保持了義大利男人一貫的騷氣。

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盧卡不是宅男，他有女朋友，來美國後談過好幾個，目前處了個美國物件，姑娘挺俊俏，是阿拉巴馬州卡爾霍恩縣安尼斯頓鎮鎮長的女兒。

在普林斯頓，學渣真的找不到女朋友。

只有在搞定學業的前提下，男孩紙們才有精力和時間去社交，去參加體育運動展現肌肉，從而吸引並結識漂亮姑娘。

傑克-馬這位亞裔男孩也是沈奇欣賞的人，沈奇發現傑克-馬喜歡在幾何分析中加入代數處理。

傑克-馬透過一組漂亮的二維流形解釋了常曲率空間中的測地線性狀問題，得到了沈奇的讚譽。

導修課堂上的學術氣氛比較熱烈，沈奇用深厚的數學知識及通俗易懂的講解方式，贏得了全部學生的尊重與好感。

作為見面禮，沈奇只留下了一道作業題，他在黑板上畫了一個非常漂亮的圖形，像是把埃菲爾鐵塔作倒影處理後與原像一同展現。

“三天之內，我希望能收到你們的作業，我的電子郵箱寫在了黑板上，你們可以發電子版作業給我，當然也可以提交紙版，我的辦公室在路德大樓2樓A02室，歡迎隨時來找我。”

“下節導修課的開端，我將和你們一同探討這道題目。好了，今天的導修課到此結束，這是我來普林斯頓後度過最愉快的兩個小時，你們非常可愛。”

沈奇笑著揮揮手，離開了教室。

十二位學生陷入了沉思，他們盯著黑板上漂亮而古怪的圖案，半小時之內沒有一人離開教室。此時已是晚上十點半，對於這些二年級學生來說，晚自習才剛剛開始。

助教的任務是輔助教授，引導本科生完成核心課程進修。

和一群可愛的各國大男孩們度過愉快的兩小時後，沈奇投入到他的主業中，他的主線當然是科研線。

“穆勒-沈定理”的證明工作按計劃實施。

沈奇用三天時間完成了一個小細節處理，證明每個弱*閉凸集是近迫集，使得‖x*-yn*‖→dist（x*，A*）（n→∞）不失一般性。

今天是沈奇收作業的最後期限，十二份作業交齊了。

埃菲爾鐵塔作倒影處理後與原像一同展現，這道黎曼幾何的題目有一定難度。

只有三位學生運用高斯-博內定理成功證明了，埃菲爾鐵塔和它的倒影是彎曲空間。

另外九位學生或多或少出現了錯誤判斷和解釋。

抄作業在普林斯頓是一件可恥的事情，後果嚴重到會讓一位學生信譽全失。

沈奇相信他的男孩子們不會抄作業，他逐一批改十二份作業。

“約翰，B。”

“阿爾希拉爾，B。”

“盧卡，A。”

“斯蒂芬，A。”

“傑克-馬，A。”

沈奇認真負責的批改作業，學生們的導修課作業成績是要留檔的。

“傑克-馬，我再看看，嗯，A+。”

沈奇越看傑克-馬的作業越開心，這小夥子可以的，他在黎曼幾何中的微分處理得有我大二時的水平了吧，必須跟他添個+號。